Download Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche by Otto Forster PDF

By Otto Forster

ISBN-10: 3528272317

ISBN-13: 9783528272319

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studenten der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel befaßt sich mit der Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen. Nach einer Einführung in die topalogischen Grundbegriffe werden Kurven im IRn, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima, implizite Funktionen und parameterabhängige Integrale behandelt. Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen eingegangen. Wie im ersten Band wurde versucht, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die allgemeine Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik correct sind. Bei der Bemessung des Stoffumfangs wurde berücksichtigt, daß die research 2 meist in einem Sommersemester gelesen wird, in dem weniger Zeit zur Verfugung steht als in einem Wintersemester. Wegen der Kürze des Sommersemesters ist nach meiner Meinung eine befriedigende Behandlung der mehrdimensionalen Integration im 2. Semester nicht möglich, die besser dem three. Semester vorbehalten bleibt. Dies Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im Sommer­ semester 1971 an der Universität Regensburg gehalten habe. Die damalige Vor­ lesungs-Ausarbeitung wurde von Herrn R. Schimpl angefertigt, dem ich hierfür meinen Dank sage.

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Gi(t) := fi(x + tn. L (J oxt· (x + t~)dt ~j . n = J= l 1 0 af. J ) 53 § 6. Totale Differenzierbarkeit at:· Da Df die Matrix mit den Komponenten ax~ ist, folgt die Behauptung. J Corollar. Die Bezeichnungen von Satz 5 seien beibehalten. Es sei M:= sup IIDf(x+t~)ll. ;;;t~ 1 Danngilt llf(x + ~)- f(x)ll M 11~11. ) Beweis. Nach Satz 5 ist s llf(x + ~)- f(x)ll = I s 1 1 (Df(x + t~H)dtll ~ IIDf(x + t~)ll·ll~ll dt ~ M 11~11. 0 0 Dabei wurde folgender Hilfssatz benützt. Hilfssatz. Sei v: [a, b] -+IRm eine stetige vektorwertige Funktion auf dem Intervall [a,b]CIR.

Partielle Ableitungen In diesem Paragraphen definieren wir die partiellen Ableitungen einer Funktion mehrerer Ver· änderlichen. Die partiellen Ableitungen sind nichts anderes als gewöhnliche Ableitungen von Funktionen einer Variablen, die man erhält, wenn man alle Veränderliche bis auf eine festhält. Die im letzten Paragraphen besprochenen Kurven waren Abbildungen von Teil· mengen von IR in den IRn. Wir betrachten jetzt umgekehrt Abbildungen von Teilmengen U C IRn nach IR, f: U -+IR, (xh ... ,Xn) 1-+ f(xt, ...

Die Koordinaten in U X I c IRn+t seien mit (x, t) = (xt. , Xn, t) bezeichnet. Für Funktionen f: U X I -+ IR, (x, t) 1-+ f(x, t) , heißt M-..!. a2f = o c2 ae die Schwingungsgleichung (oder Wellengleichung) und ~f-! af = o k at die Wärmeleitungsgleichung. Dabei wirkt der Laplace-Operator auf f als Funktion des Ortes x. (Die Konstanten c > 0 und k> 0 bedeuten die Wellen-Ausbreitungsgeschwindigkeit bzw. 8) Sei f: IR! -+IR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. 4) gilt grad f(r) = f'(r)~, r = llxll.

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